Çarpanlara ayırma, verilen bir cebirsel ifadenin çarpanlar cinsinden yazılması işlemine denir. Bu işlem, bir cebirsel ifadenin daha kısa ve anlaşılır bir şekilde parçalara ayrılmasıdır.

Örnek olarak; 2x-4 ifadesini ele alalım. Bu ifade, 2x-4 = 2.(x-2) şeklinde yazılabilir.

Burada, her terimde 2 çarpanı ortak olarak bulunmaktadır. Bu ifadeyi ortak parantez içerisine alabiliriz. 2 sayısı her iki terime de dağıtılmıştır. Aslında 2.(x-2) iken dağıtılarak 2x-4 elde edilmektedir. Bu işleme çarpanlara ayırma işlemi denir.

Çarpanlara ayırma işlemi yapılırken birçok yöntem bulunmaktadır.

Ortak çarpan parantezine alma, çarpanlara ayırma yöntemlerinden biridir. Örnek olarak, 2x + 8 ifadesini ele alalım:

2x + 8 = 2(x + 4) şeklinde yazılabilir.

Burada 2, her iki terimde de ortak çarpandır ve parantez dışına alınarak ifade kısaltılır.

Özdeşlikler, matematikte sıklıkla karşılaşılan ve özel bir öneme sahip denklemlerdir. Bir özdeşlikte bilinmeyen bir sayının yerine koyduğumuz her sayı için eşitlik doğru çıkar.

Örnek olarak; (x-9) = 15 ifadesinde, x yerine 24 yazıldığında eşitlik sağlanır:

x = 24 yazarsak; (x-9) = 15, 24-9 = 15 ifadesinde, 15 = 15 eşitliği sağlanır.

Diğer sayılar için eşitlik sağlanmaz. Bu nedenle, bu tür denklemler özdeşlik olarak adlandırılır.

2. Örnek olarak; 2x-14 = 2(x-7) ifadesini ele alalım:

x = 3 yazarsak:

2x-14 = 2(x-7)

2.3-14 = 2(3-7)

6-14 = -8 ifadesi doğru çıkar.

Eğer x=10 yazarsak:

2x-14 = 2(x-7)

2.10-14 = 2(10-7) ifadesinden 20-14 = 6, 6=6 eşitliği sağlanır.

Bu örneklerde, her iki tarafın eşit olduğu görülür. Bu tür denklemler, bilinmeyen bir sayının yerine konulan her değer için doğru çıkarsa özdeşlik olarak adlandırılır.

3. Örnek: a ve b doğal sayılardır. a²-b²=17'dir. Buna göre a+2b toplamı kaçtır?

a²-b²=17 ifadesi (a-b)(a+b)=17 şeklinde yazılabilir.

(a-b)=1 ve (a+b)=17 olduğunda, (a-b)+(a+b)=2a=18 çıkar. Buradan a=9 ve b=8 olur. Buna göre a+2b=9+2.8=25 bulunur.

Gruplandırarak çarpanlara ayırma, çarpanlara ayırma konu anlatımında önemli bir yere sahiptir. Bir cebirsel ifadede ortak çarpanı olmayan terimler gruplanarak, her grup ayrı ayrı ortak paranteze alınır.

1. Örnek: m+ak+k+ma ifadesinde çarpanlardan birini bulunuz?

m(a+1)+k(a+1) = (a+1)(m+k) olduğuna göre, çarpanlardan biri (a+1) olmaktadır.

2. Örnek: x²-xy-x+3mx-3my-3m ifadesinde çarpanlardan biri (x+a)(y+b) olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?

x²-xy-x+3mx-3my-3m = x(x-y-1)+3m(x-y-1) ifadesinden (x-y-1) = (x+a)(y+b) olduğuna göre a=-1, b=-1 olmaktadır. Buna göre;

a.b = -1.-1=1 çıkar.