Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar, çok terimli ifadeler olarak adlandırılır. Polinomların iyi anlaşılabilmesi için üslü ifadeler ve fonksiyonlar konularının da anlaşılması gerekmektedir. Polinomlar, matematikte önemli konulardan bir tanesidir.

Polinomlar

Polinomlar, A0, a1, a2, a3,..., an ∈ R ve n ∈ N olmak üzere, P(x) = a0 + a1·x + a2·x² + a3·x³ + ... + an·xⁿ şeklinde ifade edilirler. Bu ifadede:

a0, a1, a2, a3, ..., an reel sayıları polinomun katsayılarıdır.
a0 + a1·x + a2·x² + a3·x³ + ... + an·xⁿ ifadesi polinomun terimleridir.
An·xⁿ teriminde yer alan an sayısı terimin katsayısıdır.
x'in kuvveti olan n sayısına terimin derecesi denir.

Polinomda derecesi en büyük olan terim, polinomun derecesi olarak adlandırılır ve [P(x)] olarak gösterilir. Yine, derecesi en büyük olan terimin katsayısı da polinomun baş katsayısı olarak ifade edilir.

Polinomların İsimlendirilmesi

Polinomların isimlendirilmesi, katsayılarına bağlı olarak yapılır:

Katsayı reel sayı ise reel katsayılı polinom,
Katsayı rasyonel sayı ise rasyonel katsayılı polinom,
Katsayı tam sayı ise tam sayılı polinom olarak adlandırılır.

Sabit Polinom

Sabit polinom, C ∈ R ve c ≠ 0 olmak kaydı ile P(x) = c şeklindeki polinomlardır. Bu polinomların derecesi 0'dır.

Sıfır Polinomu

P(x) = 0 şeklindeki polinom, sıfır polinomu olarak adlandırılır. Bu polinomun derecesi tanımsızdır.

Örnek

P(x) = (2a - 3)·x² + b·x + 2x + 5 polinomu sabit polinom olduğuna göre, a ve b değerlerinin çarpımı nedir?

Çözüm

Bu ifadenin sabit polinom sayılabilmesi için değişkenin olmaması gerekmektedir. Bu nedenle değişken katsayısı 0 olmak zorundadır:

2a - 3 = 0, x·(b + 2) = 0

2a = 3, b + 2 = 0

a = 3/2, b = -2

Buradan a·b = (3/2)·(-2) = -3

Polinom Eşitliği

Aynı dereceye sahip terimlerin katsayıları eşit olan polinomlar eşit kabul edilir.

Polinomlarda İşlemler

Toplama İşlemi: İki polinom arasında toplama yapılırken, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi içinde toplanır ve o terimin katsayısı olarak yazılır.
Çıkarma İşlemi: Polinomlarda çıkarma işlemi yapılırken, dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi arasında çıkarılır ve o terimin katsayısı olarak yazılır. Yani toplama işleminin tersi şeklinde olur.
Çarpma İşlemi: Polinomların çarpımında, birinin her terimi diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır ve bu çarpımların toplamı elde edilir.

Bölme İşlemi

Polinomlarda bölme işlemi sayılara benzer şekilde yapılır. Bölme işlemi şu şekilde gerçekleştirilir:

Bölünen ve bölen polinomlar, x değişkeninin kuvvetlerine göre sıralanır.
Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun yine soldan ilk terimine bölünür. Sonuç, bölümün ilk terimi olur.
Çıkan sonuç, bölen polinomun bütün terimleri ile ayrı ayrı çarpılarak, aynı dereceye sahip terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.
Alta yazılan çarpım polinomu, bölünen polinomdan çıkarılır.
Bütün bu işlemler, kalan polinomun derecesi, bölen polinomun derecesinden küçük olana kadar devam eder.

Polinomlar konu anlatımımız bu şekildedir.